Discussion:Histoire de la fonction zêta de Riemann

Cette évaluation est personnelle. Ma compétence sur le sujet met à caution sa pertinence. Cependant, après avoir lu plusieurs fois l'article et relu les différents critères, j'imagine que cette mise à jour est justifiée. Jean-Luc W (d) 8 février 2008 à 11:54 (CET) bonjour,

Il s'agit de la première version de cet article. Donnez moi votre avis. Inutile de me faire remarquer que je ne suis pas la tradition concernant la définition de Li(x). Je l'ai défini par $Li(x)=\int _{2}^{x}{\frac {du}{\ln u}}$ et j'élimine ainsi la singularité de l'intégrale en 1. Franchement, je ne comprends pas trop pourquoi il faudrait partir de 0 et se compliquer la vie avec une partie principale alors que l'on n'a de toute façon pas une égalité parfaite, et que la différence est un nombre. Claudeh5 19 juin 2006 à 18:30 (CEST)

Salut, tout d'abord merci pour ton travail considérable, je suis en train de le wikifier en mettant les liens vers les autres articles. Concernant le logarithme intégral j'ai résolu la chose tout simplement en mettant un signe d'approximation au lieu du signe égal, c'est tout aussi convenable à l'infini et permet de conserver les notations standards ce qui est la meilleure chose à faire ici. Bien cordialement et bon courage pour la suite! LeYaYa 19 juin 2006 à 22:29 (CEST)

En fait, j'ai bien l'impression qu'il existe une fonction Li(x) définie comme je l'ai dit précédemment et une fonction li(x) (avec un l petit) dont l'intégrale part de 0. De ce fait, je n'ai plus aucun remord !Claudeh5 19 juin 2006 à 23:44 (CEST)

oui tu as raison, je suis allé consulter en:Logarithmic integral function et c'est bien ce qu'ils disent. LeYaYa 21 juin 2006 à 11:09 (CEST)

Une première lecture

Une première remarque, voilà un travail remarquable, une analyse relativement exhaustive et souvent particulièrement clair. Pour moi, il existe deux axes d'amélioration (enfin à mon avis).

• Il manque une introduction synthétique, qui répond aux questions suivantes:
  • Pourquoi la recherche des nombres premiers est une question si importante qu'elle est ouverte depuis l'antiquité?
  • Quelle est l'importance de cette étrange question de répartition des nombres premiers?
  • Pourquoi une démarche avec la fonction zeta de Riemann et pas autre chose?
  • Pourquoi cette conjecture est considérée par beaucoup comme une des plus fondamentales des mathématiques actuelles?
  • Quel serait la conséquence de la démonstration de la conjecture, en mathématiques comme dans la vie de tous les jours (je pense à la cryptographie)?
  • qu'est ce que cette conjecture a apportée aux mathématiques, quelles branches des mathématiques sont affectées?

• Voilà du matériel superbe, en revanche il est (à mon avis) mal intégré à l'encyclopédie.

Je vais essayer d'illustrer mon propos par Euler, d'ou viennent les nombres de Bernouilli? pourquoi interviennent-ils? en quoi ont ils un rapport avec les nombres premiers? Comment trouve-t-on un lien entre la fonction zéta et la divergence de la série harmonique. Autant je conçois parfaitement que pour la suite de l'article la notion de série harmonique est familière au lecteur, autant à ce niveau de l'article une explication me semble nécessaire.

En bref, si le paragraphe est passionnant, le savoir sous-jacent n'est pas inclu dans l'article. Donc pour une réelle compréhension de tes propos, je suis bloqué. La seule solution pour garder l'article dans des proportions raisonnables consiste donc à réaliser des liens avec d'autres articles et à terme à opérer un transfert massif de cet article vers ceux qui doivent contenir de manière plus naturelle cette matière.

Je suis conscient de la difficulté majeure de l'approche que je préconise. Elle tient à la nature même de l'article. La fonction Zéta s'appuie sur une base mathématique si vaste, et parfois si complexe que le travail à réaliser pour appliquer ce plan est titanesque.

• De manière pratique, je propose l'adjonction d'une forte synthèse en introduction, et petit à petit quand l'encyclopédie s'enrichira transférer le contenu technique vers d'autres articles avec un lien du type article associé pour ne garder ici que la partie synthèse et rôle dans l'histoire, qui est le sujet de l'article. Pour moi, le problème ne peut donc se limiter à une Wikification de l'article.

• En conclusion, bravo pour ce magnifique travail, il montre que la route est encore longue pour pouvoir disposer d'une encyclopédie mathématique digne de ce nom. Jean-Luc W 25 juin 2006 à 13:28 (CEST)

Comment trouve-t-on un lien entre la fonction zéta et la divergence de la série harmonique.

facile. on fait tendre s (réel) vers 1 dans la définition de la fonction zeta par euler. On a aussitôt la série harmonique. Or depuis longtemps (Tartaglia au moins), on sait que la série diverge. Donc, d'après le produit eulérien, si l'on avait seulement un nombre fini de nombres premiers, le produit eulérien (partiel) serait convergeant vers une constante finie non nulle. Ce qui est contraire au fait que la série harmonique diverge.

le savoir sous-jacent n'est pas inclu dans l'article.

Evidemment, cela aurait été préférable... Mais je me suis refusé d'inclure les démonstrations. En effet, celles-ci sont longues et souvent complexes. Bon, je ferais (peut-être) quelques exceptions...

première lecture aussi

je suis assez d'accord avec les remarques de Jean-Luc ; je me contenterai d'ajouter ou d'appuyer

• il manque une introduction dans le sens indiqué par Jean Luc ; mais sans doute est il mieux de rédiger l'intro après l'article
• il faudrait définir par contre précisément les contours de l'article et repérer un ou deux articles associés. Actuellement en effet, il est très souvent question de l'aspect "histoire des nombres premiers" au milieu des considérations purement fonction zeta;. Vu la densité du matériau, séparer en deux articles convenablement délimités et liés me paraîtrait plus digeste.
• il faut d'ailleurs au passage recenser ce qui existe dans la catégorie catégorie:nombre premier et faire des liens vers cela

Enfin pour l'avis global : même si le matériau n'est actuellement pas assez inséré dans l'encyclopédie, le travail est remarquable. Il y aura donc surtout à faire sur la forme. Peps 25 juin 2006 à 14:16 (CEST)

pour ce qui est de la catégorie:nombre premier, il n'y a malheureusement que deux points de contact: le théorème des nombres premiers et le théorème de raréfaction des nombres premiers. Tous les deux sont déjà cités (voir Hadamard et De la Vallée Poussin pour le premier, Legendre pour l'autre.

Pour ce qui est des nombres premiers, en tant que tels, leur introduction se limite à la conjecture de Legendre. La théorie de la fonction zeta se développe ensuite indépendamment des nombres premiers (même si les résultats s'interprètent ensuite en terme de nombres premiers).

orthographe

Je remercie vivement tous ceux qui se sont attachés à enlever les fautes d'orthographe que j'ai pu faire dans ce texte. Sincèrement.Claudeh5 10 décembre 2006 à 14:08 (CET)

Avancement

J'ai mis que l'avancement était "bon début". J'aimerais avoir votre avis.Claudeh5 23 septembre 2007 à 13:55 (CEST)

Relecture de JL

Première relecture

L'objectif est ici de noter au fil de la lecture mes remarques. Attention, à ce stade, la pertinence des remarques risquent d'être faible. Un tri et une deuxième relecture permettront d'y voir plus clair.

Introduction

Le mot mathématique est absent, la fonction zeta de Riemann n'est que peu introduite. Je ne retrouve pas mes repères classique. Pour moi, l'introduction me permet de savoir si l'article répond à la question que je me pose. Je m'attend à une introduction à la hauteur de l'article.

Antiquité de la fonction Zeta de Riemann

Je n'ai pas encore compris la problématique. Je la relie mal avec le titre, est-ce l'histoire de la fonction Zeta de Riemann ou l'histoire de la répartition des nombres premiers?

J'ai récris une partie de l'introduction. C'est mieux ?.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:02 (CEST)

Le crible d'Eratosthène

L'exposé est clair le style est plaisant. Mais qu'elle est le contexte historique, où sommes nous, quand sommes nous?

Formule du crible

Le changement de sujet est trop violent à mon goût. On part de l'histoire de la fonction zeta, on démarre à Erasthotène justifié par une connexion avec la problématique de la fonction zeta, on passe aux avatars du crible. Le contributeur me demande un trop grand écart.

c'est dû au fait que j'ai besoin de la formule du crible pour faire un lien entre l'antiquité et la formule de Legendre. C'eet la formule du crible. Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:02 (CEST)

Conjecture non démontrée

La linéarité de l'article m'échappe, le lien entre le paragraphe précédent et les deux conjectures est trop lointain.

Le passage à l'antiquité et au moyen-age me remet en selle. Mais, l'indication de l'absence de progrès formalisée de cette manière soulève mon coté polémique. La fonction zéta fait appel aux concepts de convergence, série, plan complexe ... Le sujet est passé sous silence. L'article est riche, que justifie une telle impasse ? Le rédacteur ne m'aide pas assez pour comprendre le fil de sa pensée.

Le style redevient plaisant, la lecture est aisée et agréable. A part le défaut de l'absence de visibilité de la raison de la suite dans les idées énoncée, le texte est claire.

La naissance de Zeta

Problème de Mengoli

Encore un texte clair,si ce n'est le problème de la précision du savoir. Je n'aime guère les on prétend car je ne sais jamais quoi en penser. Une difficulté à comprendre la relation entre la formule de Stirling et le problème de Mengoli.

Leonhard Euler

en utilisant les relations entre les racines d'un polynôme, et en faisant tendre le degré du polynôme vers l'infini qu'il obtient la première justification de sa conjecture de 1735, où en parle-t-on dans l'encyclopédie, c'est intéressant cette affaire.

c'est la démonstration non rigoureuse donnée dans l'article sur le problème de Mengoli.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

L'explicitation de la formule me semble inutile, je préfère un lien vers un article bien fait pour délabyrinther cette question, ici et à mon goût soit c'est en trop, soit on rentre dans le détail et il en manque trop. En bref, il manque le lien qui résoud la question.

En revanche je reste sur ma fin sur l'aspect qualitatif. Pourquoi Euler est-il si fier? Quel est le rapport avec les nombres de Bernoulli ?

Comme indiqué dans l'article sur le problème de Mengoli, les plus éminents mathématiciens n'avaient pas pu résoudre le problème... Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

La phrase Par conséquent il existe un lien, inconnu jusque là, entre les nombres premiers et la fonction ζ. est passionnante, mais pas suffisamment développé. Cette phrase semble être un nexus de l'article, si j'en crois ce qui m'a été annoncé avant, pourquoi ?

La phrase sur les produits Eulériens semble être une clé importante. Une articulation habile entre les deux articles apparait comme un ingrédient essentiel à la réussite de l'article. Je m'attend ici à une explication qualitative pertinente et pour le deuxième article à un degré de détail mathématique suffisant pour comprendre la profondeur de l'explication ici présente.

Commentaire de 1751. Encore une remarque passionnante! Quel est le lien ?

En bref, on sent bien qu'Euler est sur le scoop de sa vie, du début à la fin du paragraphe. Mais on ne comprend pas exactement quelle est la nature du scoop ni comment il a bien pu flairer ce scoop.

Les travaux de Legendre

Je verrais plutôt Travaux de Legendre

Sur le coup, je n'ai pas compris le problème. Il est vrai que Legendre a travaillé sur de nombreux sujets pas forcément liés à zeta ou aux nombres premiers. Ici, le terme "Les ..." devaient être compris comme "Les travaux de Legendre" dans ce contexte.

Les mêmes forces apparaissent dans le paragraphe, agréable à lire précis et clair. En revanche, le style s'approche de la liste de résultats, pas de synthèse ou d'analyse historique.

Je suis gêné par le saut historique par Hadamard, le zig-zag ne me convainc pas.

Le rôle de la fonction indicatrice d'Euler n'est pas présenté, rien sur ce résultat d'Euler pourtant objet d'un paragraphe entier. Je ne comprend pas le point de vue consistant à ne pas en parler.

Bon, je vais voir ce que je peux dire là-dessus. Il est vrai que l'indicatrice d'Euler intervient dans la conjecture de Legendre qui aboutira au théorème de Dirichlet.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:09 (CEST)

Le théorème de raréfaction des nombres premiers est indiqué comme démontré en 1808 à cet article. Cette affirmation est contredite dans l'article Théorème de la raréfaction des nombres premiers.

Non, le théorème de raréfaction est bien de Legendre et vient de la formule que j'ai donnée issue de la formule du crible (le voilà !). Aujourd'hui, c'est une conséquence du théorème de Hadamard-De la Vallée Poussin. Il n'y a pas de contradiction, seulement une légère ambiguité dans l'article Théorème de la raréfaction des nombres premiers que je m'en vais rectifier.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:09 (CEST)

Dirichlet Bertrand et Tchebyscheff

Je propose une convention unique pour les titres, soit on utilise l'article défini soit on ne l'utilise pas, le mélange des genres ne me semble pas du meilleur effet.

Une énumération de résultats n'est jamais le plus plaisant à lire. Le fil conducteur est absent, le rapport à la fonction zeta reste essentiellement obscur.

Pour les travaux de Tchebyscheff, la limite n'est pas claire, parle-t-on de π(x) ? mais la majoration semble montrer une limite vers l'infini. Je joue un petit peu à l'idiot, mais je suis sur que c'est améliorable.

Début d'une synthèse

Quelques lectures attentives me permettent une première tentative de synthèse. Je la rédige et attends les commentaires pour savoir si ce travail est utile.

Points forts de l'article

• Le style est agréable. Il est léger, parfois vif utilisant une forme peu entachée d'une lourdeur si fréquente dans une encyclopédie. A mon sens, c'est une propriété qu'il faut absolument garder. J'apprécie par exemple des expressions comme Ce joli résultat ne résout cependant pas le problème fondamental. Je sais que cela pourrait être considéré comme à la limite du non neutre ou un peu personnel. Mais, je ne crois pas à un risque d'interprétation erronée de la part du lecteur.

• L'article est aisément compréhensible. Peut-être ne suis-je pas le meilleur relecteur pour évaluer cette propriété, il faudra donc à un moment la valider par plus compétent que moi. Néanmoins je suis pour l'instant persuadé que cet article a pour vocation de viser un large public.

• L'article est riche. De multiples détails sur les auteurs, comme par exemple l'évaluation du travail d'Euler sur le problème de Mengoli, ajoutent à la qualité générale de l'article. Cette richesse s'allie avec une précision dans les dates et les évènements qui font tout l'intérêt d'un article encyclopédique.

Le point à améliorer

Les frontières de l'article ne me sautent pas aux yeux. J'ai l'impression que trois sujets sont traités, alors qu'un seul correspond au titre. L'histoire de la fonction zeta, l'histoire de la théorie analytique des nombres et une synthèse de la théorie analytique des nombres.

En fait, je n'ai l'intention que de traiter de zeta. Mais le développement des choses m'amène à aborder des techniques essentielles des mathématiques: théorie des fonctions presques périodiques, théorie des séries de Dirichlet, théorèmes d'oscillation, sommation par la formule d'Abel, intégrale de Stieljes, théorème de factorisation de Hadamard, ... Mais j'ai tout à fait conscience que je traite des trois... L'explication est en fait donnée par la citation de Lebesgue dans l'introduction.

J'ai conscience que ces trois sujets sont intimement liés. En revanche, ce mélange dans un même article me déstabilise. Prenons un exemple, l'article commence par le crible d'Eratosthène. J'ai envie de savoir d'où vient ce mathématicien, si une première raréfaction qualitative est observée, si l'on trouve des cribles qui donne les nombres premiers jusqu'à 1000 ou 10.000. A cette époque, l'extraordinaire désordre apparent des nombres premiers est-il commenté ?

oui ! par Euler, cité dans la suite et par l'introduction de Legendre dans sa théorie des nombres.Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

En fait je m'attend à un article d'histoire des mathématiques. Le paragraphe suivant développe bien le crible, mais sous un axe totalement différent. Il est tout aussi passionnant, connaitre le futur du crible d'Eratosthène et entrevoir des réponses à des questions qui semblent éloignées comme les nombres premiers jumeaux est biensur pertinent. Cependant, ce choix me pose deux soucis : pourquoi un développement et pas l'autre et la rupture de la linéarité de l'histoire rend la lecture plus difficile.

Pour le crible, je pense devoir écrire un jour un article complet pour présenter les méthodes du crible. Mais c'est très difficle: les idées sont variées, les méthodes récentes et les exposés par ceux-là même qui les ont crées ne sont pas toujours pédagogiques.Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

Une encyclopédie électronique est un formidable support pour un travail de cette nature. Il permet de traiter uniquement un sujet tout en pointant commodément vers les éléments connexes, souvent essentiel pour approfondir. Cet article n'utilise pas encore au mieux la nature du support.

c'est très probablement vrai.Mais je n'ai pas non plus fini la rédaction...Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

En conséquence, le plan est parfois inutilement haché, ne donne pas l'impression de traiter de manière exhaustive le sujet et présente une richesse difficile à assimiler en une unique lecture.

Points secondaires

• Des illustrations rendent souvent la lecture plus agréable.

Hormis une collection de portraits, je ne vois pas bien ce que je peux mettre... Mais il y a peut-être autre chose.Claudeh5 25 septembre 2007 à 08:57 (CEST)

• Si l'article traite d'un sujet comme l'analyse qualitative durant l'antiquité du crible d'Erastosthène, ou encore les méthodes ayant permis à Euler de résoudre le problème de Mengoli, les sources finiront par être essentiels. Elles permettent à la fois la correction rapide des incohérences comme celles sur les travaux de Legendre où WP affirme de faits contradictoires sur la date de la démonstration et, fait inavouable, est bien sympathique pour les petits copains qui peuvent accrocher les éléments connexes à leur article sur le tien tout en étant sur que l'édifice est solide.

Les références précises seront données par la suite afin de vérifier ou pour permettre un approfondissement. Mais déjà l'ensemble est suffisamment connu pour que le savoir mathématique soit assuré. Par exemple, le théorème de Speiser a été vérifié sur l'article original (en allemand). Une grande majorité des résultats sont dans le livre de Titschmarsh... Par contre je n'ai pas pu examiner la thèse d'Esclangon~(car elle est en très mauvais état à Dijon), aussi l'origine de la théorie des fonctions presques-périodiques est peut-être à modifier: Esclangon parlait de fonctions quasi-périodiques.Claudeh5 25 septembre 2007 à 08:57 (CEST)

• Les remarques comme (page 402 pour ceux qui veulent vérifier) ne manquent pas d'humour, mais ne me semble pas de mise dans WP. Je reconnais que ce point est vraiment secondaire.

Modus Opérandi

Ce que je préconise, est la démarche suivante :

• Choisir le thème phare de l'article : histoire ou article général, zeta ou théorie analytique ?

• Une fois l'axe déterminé, il est nécessaire de définir la flotte, si j'ose une métaphore maritime. Quel est le vaisseau amiral ? Quels sont les articles connexes de poids pour que l'article tienne la route sans impasse immédiate dès que le lecteur souhaite approfondir ? je les comparerais aux croiseurs. Enfin quels sont les petits escorteurs indispensables à une compréhension aussi profonde que celle vers laquelle se dirige l'article ? Je pense par exemple à produit eulérien, théorème de la progression arithmétique ou série L de Dirichlet. En fait, je pense à eux car ils étaient nécessaires pour l'Arithmétique modulaire, ils m'ont permis de définir une frontière.

• Il devient possible à ce moment là de réaménager le plan de l'article, en supposant que WP est devenu un parfait support à l'article.

Conclusion

Cet article représente une force là où, à mes yeux WP est le plus faible. Cet encyclopédie en maths se résume bien trop souvent à un cours de maths. Autant, la partie purement mathématique doit à mon humble avis être présente sur WP, autant cette partie représente le degré zéro de l'encyclopédie. Les analyses historiques ou synthétiques sont très largement absentes. Le défi, à mes yeux, consiste à intégrer harmonieusement ton apport dans le courant principal de WP. Ne pas le faire représente un double risque : tu ne seras que peu lu et l'influence de ton article sur les autres contributeurs sera anecdotique. Jean-Luc W 24 septembre 2007 à 10:00 (CEST)

de Branges

On lit dans l'article, section "Fausses preuves" :

"Une "preuve" qui fut donnée par Louis de Branges circule sur internet. Elle reposait sur une propriété de positivité supposée qui s'est avérée numériquement fausse."

Je me demande si c'est bien exact. Voici ce qu'on lit sur le site Wolfram :

"de Branges has written a number of papers discussing a potential approach to the generalized Riemann hypothesis (de Branges 1986, 1992, 1994) and in fact claiming to prove the generalized Riemann hypothesis (de Branges 2003, 2004; Boutin 2004), but no actual proofs seem to be present in these papers. Furthermore, Conrey and Li (1998) prove a counterexample to de Branges's approach, which essentially means that theory developed by de Branges is not viable. " (Voir Wolfram.)

Si une conjecture de de Branges (je suppose qu'il s'agit de : de Branges, L. "A Conjecture Which Implies the Riemann Hypothesis." J. Func. Anal. 121, 117-184, 1994, mentionnée sur la page du site Wolfram) a été réfutée en 1998, de Branges le savait sûrement quand il a proposé ses démonstrations en 2003 et en 2004, et tout récemment en 2009. Donc je suppose que ces démonstrations sont indépendantes de la conjecture, et que le fait que la conjecture ait été réfutée ne réfute pas les démonstrations. S'il n'existe pas d'autre source sur une réfutation des démonstrations de de Branges, il me semble qu'il faudrait modifier l'article.
Marvoir (d) 28 août 2009 à 18:46 (CEST)

réponse là: http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9812/9812166v1.pdf

Je ne crois pas, en l'absence de consensus des mathématiciens, que la preuve doive être considérée comme bonne.D'ailleurs De Branges ne l'a pas présenté pour le millénium price à l'institut Clay, lui qui a tant besoin d'argent pour restaurer son chateau. De plus, les documents explicitement refutés sont de Branges, A conjecture which implies the Riemann hypothesis, J. Functional Analysis T121 (1994), 117–184 et de Branges,A proof of the Riemann hypothesis mais la version 2004 présente les mêmes problèmes, utilisant toujours (voir page 32) une condition de non négativité déjà réfutée. Je n'ai pas encore lu la "preuve" de 2009 mais je m'attend à la retrouver. Claudeh5 (d) 28 août 2009 à 19:14 (CEST)

Le texte de Conrey et Li auquel vous renvoyez est de 1998. Il ne contient donc pas de réfutation d'un texte que de Branges a donné comme une démonstration de la conjecture de Riemann, puisque de Branges n'a prétendu avoir démontré la conjecture de Riemann qu'à partir de 2003. Vous dites : "les documents explicitement réfutés sont de Branges, A conjecture which implies the Riemann hypothesis, J. Functional Analysis T121 (1994), 117–184 et de Branges, A proof of the Riemann hypothesis". Pourriez-vous dire où on peut trouver une "réfutation explicite" de "de Branges, A proof of the Riemann hypothesis" ?

Marvoir (d) 28 août 2009 à 19:46 (CEST)

Comme je l'ai dit, toutes les versions des "preuves" de De Branges utilisent une condition de positivité qui est toujours la même, celle de son papier de 1994 qui a été réfutée en 1999. On la retrouve page 32 de son mémoire de 2004, page 55 (th1) du mémoire de 2009. Il me semble que De Branges croit que l'on n'a pas compris son argument.Claudeh5 (d) 28 août 2009 à 20:03 (CEST)

De Branges a intitulé son article de 1994 "conjecture". Il savait donc que ce n'était qu'une conjecture. A-t-il prétendu à partir de 2003 avoir démontré cette conjecture, ou, au contraire, a-t-il utilisé une autre méthode pour produire ce qu'il estime être des démonstrations ? Vous dites qu'il utilise "la même" condition de positivité à la p. 55 de son mémoire de 2009. A première vue, je ne trouve rien dans cette p. 55 qui soit identique à la condition de positivité mentionnée par Conrey et Li. Vous pourriez peut-être nous dire à quel endroit précis de la p. 55 se trouve l'erreur, mais je pense que cela ne pourrait pas passer dans l'article, car ce serait du travail inédit. Je me permets donc de vous demander de nouveau si vous pourriez citer une réfutation d'une démonstration de de Branges (et non de sa conjecture).

Marvoir (d) 28 août 2009 à 20:26 (CEST)

Il ne semble pas que De Branges ait formellement rédigé une preuve, seulement des "arguments". Aucun des papiers de De Branges concerant l'hypothèse de Riemann n'a été soumis ni à un journal ni à un comité de lecture donc il n'existe aucun document (à ma connaissance) qui soit officiellement une réfutation de ces documents, hormis la réfutation claire et publiée de la conjecture de 1994. Cependant, l'avis général sur ces questions est que la réfutation de 1999 concerne également les preuves suivantes. Je n'ai aucune raison de changer l'avis donné précédemment dans l'article.Claudeh5 (d) 28 août 2009 à 21:38 (CEST)

Même si on adopte le point de vue que vous venez d'exprimer, la phrase "Une "preuve" qui fut donnée par Louis de Branges circule sur internet. Elle reposait sur une propriété de positivité supposée qui s'est avérée numériquement fausse." est équivoque. Elle laisse croire qu'on a a prouvé, après la publication d'une preuve par de Branges, qu'une affirmation contenue dans cette preuve est fausse. Or tel n'est pas le cas. Vous dites "l'avis général sur ces questions est que la réfutation de 1999 concerne également les preuves suivantes." Cet avis est-il exprimé clairement quelque part ? D'ailleurs, il me semble difficile de soutenir à la fois que de Branges n'a pas donné de démonstration et que sa démonstration repose sur une erreur... Bref, tout cela n'est pas clair.

Marvoir (d) 29 août 2009 à 08:36 (CEST)

Matthews Watkins précise ceci: Louis de Branges attempts to clarify his "proof" of the Riemann Hypothesis

"...explains the mathematical motivation for his Riemann Hypothesis proof and reveals that he proved the Bieberbach conjecture so that he could get funding to work on the Riemann Hypothesis."

In June 2004, Louis de Branges announced another proof of the Riemann Hypothesis. "However", cautions Eric Weisstein's Mathworld, "both the 23-page preprint cited in the release (which is actually from 2003) and a longer preprint from 2004 on de Branges's home page seem to lack an actual proof. Furthermore, a counterexample to de Branges's approach due to Conrey and Li has been known since 1998. The media coverage therefore appears to be much ado about nothing." Claudeh5 (d) 29 août 2009 à 14:20 (CEST)

Je crois que j'avais abandonné cette discussion de guerre lasse ou parce que je l'avais perdue de vue, je ne sais plus. D'après la dernière citation, " a counterexample to de Branges's approach due to Conrey and Li has been known since 1998 ". Cela veut dire qu'on a réfuté la conjecture de positivité, ça ne veut pas dire qu'on a réfuté la démonstration qu'il a publiée bien après cette réfutation, en 2009, ici. Je répète qu'à ma connaissance, personne n'a réfuté la démonstration de de Branges. Que la plupart des mathématiciens pensent a priori qu'elle est fausse, c'est une autre affaire. Marvoir (d) 16 octobre 2012 à 21:10 (CEST)

L'honorable correspondant doit remarquer que le document dont il parle est daté du 4 septembre 2009 alors même que la discussion s'était arrêtée le 29 août 2009.Claudeh5 (d) 16 octobre 2012 à 21:39 (CEST)

J'ai une copie de la première version de l'article de de Branges : elle est datée du 28 juillet 2009. Celle du 4 septembre 2009 est une forme revue du même article. C'est de la version du 28 juillet 2009 que nous discutions à l'époque. (Sinon, dites-moi à la page 55 de quel article vous vous référiez.) Marvoir (d) 16 octobre 2012 à 22:01 (CEST)

Nombres premiers de Fermat

L'article dit :

"Même Fermat n'avait aucune conjecture sur cette répartition hormis peut-être celle-ci, qui semble être très ancienne, mais fausse.

Conjecture : Les seuls nombres premiers de la forme $2^{m}+1$ sont de la forme $2^{2^{2^{\ldots }}}+1.$"

Fermat a conjecturé (et, si je ne me trompe, a même cru avoir démontré) que $2^{2^{n}}+1$ est toujours premier, ce qui est faux. Quand il fut démontré que cette conjecture était fausse, on s'est demandé (je n'ai pas de référence, désolé) si on ne pourrait pas la remplacer par l'énoncé plus faible : tout nombre de la forme $2^{2^{2^{\ldots }}}+1.$ est premier.

Mais je doute fort que quelqu'un ait énoncé la conjecture formulée dans l'article, à savoir "Les seuls nombres premiers de la forme $2^{m}+1$ sont de la forme $2^{2^{2^{\ldots }}}+1.$", car elle a ce contre-exemple trivial : $2^{2^{3}}+1=257$ est premier.
Marvoir (d) 29 août 2009 à 09:14 (CEST)

Je ne vois pas où est le problème. La conjecture est fausse. Pour ce qui est de Fermat, celui-ci ne l'a pas exprimé puisque Fermat n'a que très peu publié de son vivant. Ce qu'on en connait, ce sont des lettres que son fils a eu bien du mal à retrouver mais au final nous sommes d'accord. La conjecture sur les nombres "de Fermat" est très ancienne: on la retrouve en Chine.Claudeh5 (d) 29 août 2009 à 12:33 (CEST)

Le problème, c'est que celui qui aurait formulé la conjecture dont vous parlez serait un imbécile, puisqu'une vérification élémentaire montre que cette prétendue conjecture est fausse. Je vous défie de donner une source d'après laquelle Fermat aurait fait la conjecture que vous lui prêtez.

Marvoir (d) 29 août 2009 à 13:02 (CEST)

P.S. Pour la conjecture que Fermat a réellement faite, voir l'article Nombre premier de Fermat. Fermat écrivait à Mersenne : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». Donc Fermat savait (et qui en douterait ?) que 257 est premier, donc il n'a sûrement jamais formulé l'énormité que vous lui prêtez.

Marvoir (d) 29 août 2009 à 13:11 (CEST)

Ah oui, vous avez raison: c'est la formulation utilisée qui est erronée; la vôtre est la bonne et c'est bien celle que j'avais en tête: tout nombre de la forme 2^2^2^...+1 est premier. Je corrige. Quant au propos de Fermat, celui-ci est fort ambigu. On ne peut raisonnablement lui attribuer une conjecture sur ce thème à partir de là.Claudeh5 (d) 29 août 2009 à 14:16 (CEST)

Le propos de Fermat n'est pas ambigu quant au fait que Fermat savait que 257 est premier, ce qui montre qu'il est invraisemblable qu'il ait fait la conjecture que vous lui prêtiez. C'est pour ça que j'ai cité ce passage de Fermat. Quant à la conjecture qu'il a vraiment faite, si vous ne croyez pas l'article Nombre premier de Fermat, voyez Jean Itard, Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres, Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1950, vol. 3, p. 22, en ligne. Jean Itard rédige ainsi en langage mathématique moderne ce que Fermat écrivait à Frénicle dans une lettre datant probablement d'août 1640 : "Je suis persuadé que $2^{2^{n}}+1$ est premier quel que soit n." Je suppose que vous allez corriger et mettre une référence.

Marvoir (d) 29 août 2009 à 14:42 (CEST)

P.S. Il est vrai que le langage de Fermat est ambigu. Dans une lettre à Carcavi, il écrit : "Toutes les puissances quarrees de 2, augmentees de l'unite, sont nombres premiers." (Voir ici.) On suppose que "puissances quarrees de 2" veut dire nombres de la forme $2^{2^{n}}$...

Marvoir (d) 29 août 2009 à 15:15 (CEST)

Serait-il possible de donner une référence sur le fait que les Chinois avaient déjà conjecturé que les "nombres de Fermat" sont premiers ? Merci d'avance.
Marvoir (d) 29 août 2009 à 16:38 (CEST)

Dans un exposé (site [3], mais je crois qu'il vaut mieux googler pour trouver le pdf) où il est aussi question des nombres de Fermat, on lit : "Puis les Chinois formulent une hypothèse: pour tout premier p : 2^p - 2 est divisible par p." C'est un cas particulier du "petit" théorème de Fermat, mais pas de sa conjecture (erronée) sur les nombres de Fermat. En googlant sur l'expression "nombre de Fermat" et le mot "chinois", je ne trouve nulle part que les Chinois auraient déjà conjecturé que les nombres de Fermat étaient tous premiers. Je me permets donc de demander de nouveau une référence sur ce fait.
Marvoir (d) 30 août 2009 à 09:14 (CEST)

Pour ce qui est de 2^p-2 divisible par p, on trouve une référence dans Dickson, History of the theory of numbers, T1,p59 qui renvoit à Peano, formulaire mathématique, T3,1901, p96.

Concernant la conjecture 2^2^2^...+1, d'après Dickson, History of the theory of numbers, T1,p376, c'est Joubin qui suggéra que ces nombres étaient peut-être les seuls réellement visés par Fermat, (Joubin, Mémoire sur les facteurs numériques, Le Havre, 1831, note terminale). Un peu avant, Les annales de Mathématiques (Gergonne), T19, 1828-1829, p256, propose la question à la démonstration (http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMPA/AMPA_1828-1829__19_/AMPA_1828-1829__19__256_0/AMPA_1828-1829__19__256_0.pdf)

quant à la conjecture chinoise, je ne sais plus où je l'ai lue mais c'est dans un livre, pas sur Google. Cependant cela fait longtemps (au moins 5 ans !).Claudeh5 (d) 30 août 2009 à 12:25 (CEST)

Puisque vous ne pouvez pas sourcer ce que vous dites de la conjecture chinoise, il me semble qu'il faudrait l'ôter de l'article. Je crains fort que votre mémoire ne vous trompe et que les Chinois n'aient rien conjecturé au sujet des nombres de Fermat.

Marvoir (d) 30 août 2009 à 12:32 (CEST)

Il semble que la situation soit encore bien pire que cela. D'après Ribenboim, Nombres, premiers, Mystère et records, p85, les chinois n'ont pas démontré que 2^n -2 est divisible par n si n est premier avant Fermat (donc la conjecture attribuée aux chinois sur 2^n+1 est inexacte). Il s'agirait d'une légende née en 1897/1898 sous la plume de Jeans dans le messenger of mathematics.Donc, j'arrête là mes recherches qui ne peuvent qu'aboutir à un texte qui est lui-même erroné.Claudeh5 (d) 30 août 2009 à 13:27 (CEST)

Intéressant ! Je m'aperçois que l'article Petit théorème de Fermat dit que cette histoire a été réfutée par Joseph Needham. Merci d'avoir modifié l'article.

Marvoir (d) 30 août 2009 à 15:06 (CEST)

Je note que vous avez laissé la conjecture de Fermat sous cette forme qui n'est pas la conjecture de Fermat : "Conjecture : Tous les nombres premiers de la forme $2^{m}+1$ sont de la forme $2^{2^{2^{\ldots }}}+1.$". Comme je l'ai dit plus haut et comme vous sembliez l'avoir admis, personne n'a sûrement jamais formulé cette conjecture, réfutée par le contre-exemple trivial : $2^{2^{3}}+1=257$ est premier. La conjecture de Fermat était que tout nombre de la forme $2^{2^{n}}$ est premier. Quant à la conjecture réfutée par Hurwitz et Selfridge (réfutation dont vous parlez en note) elle ne disait pas non plus ce que vous dites, elle disait que tout nombre de la forme $2^{2^{2^{\ldots }}}+1$ est premier.
Marvoir (d) 30 août 2009 à 15:30 (CEST)

pas grave.il suffit d'enlever.Claudeh5 (d) 31 août 2009 à 13:21 (CEST)

Euler : date(s)+méthode(s) ?

• La date 1735 de notre article est mentionnée par Sandifer dans Estimating the Basel Problem mais je nai pas trouvé dans ce dernier de quelle publication d'Euler il s'agit et cette date ne correspond pas à celle (1743) de E63 que nous donnons comme référence.
• Notre article dit aussi : « Enfin, il montre que la série des inverses des nombres premiers est divergente. Pour cela il calcule le logarithme de $\zeta (k)$ à partir du produit eulérien et il développe le logarithme en séries de Taylor autour de 1. Il trouve ainsi deux termes, la somme ${}^{\sum _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{p}}}$ et une série convergente bornée pour tout $m>1$ : ${}^{\sum _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{p^{m}}}}$. Faisant alors tendre k vers 1, le membre de gauche tend vers l'infini par suite de la divergence de la série harmonique tandis que le membre de droite est la somme d'une quantité bornée à laquelle on ajoute la somme ${}^{\sum _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{p}},}$ ce qui entraine la divergence de la somme. » On pourrait rédiger ça plus clairement, et même simplifier l'argument, mais à condition de sourcer par l'article d'Euler correspondant. S'il n'y en a pas, il vaudrait mieux supprimer cette phrase.
• Le site How Euler did it de Sandifer et le site The Euler Archive doivent contenir le matériel permettant de débrouiller ces 2 questions, mais je ne me sens pas le courage et la compétence pour le faire.

Anne Bauval (d) 14 août 2011 à 11:36 (CEST)

Au sujet du point 2, Claudeh m'a envoyé un mail ce soir pour me communiquer la référence. Je ne sais pas si cela répond aux questions, mais j'ai respecté son souhait de voir cette référence ajoutée. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 mai 2012 à 22:54 (CEST)

Ce théorème de Cahen est-il vrai ?

Je n'ai pas de contre-exemple, mais sa démonstration (que j'ai ajoutée en lien en note 9) est fausse parce qu'il suppose implicitement que la lim sup est ≥ 0 (alors qu'a priori, on pourrait avoir une lim sup < 0 et une abscisse de convergence nulle). On trouve la même erreur dans Apostol (l'inégalité de la 4e ligne à partir du bas n'est vraie que si L + ε ≥ 0). C'est un secret de Polichinelle que certaines preuves et même certains énoncés de Cahen sont faux (Landau loue son défrichage puis dit qu'il a fallu quatorze ans pour démêler le vrai du faux dans tout ce qu'il a écrit). Il faudrait peut-être l'expliciter un peu plus. Pour en revenir à cet énoncé-là (que j'avais voulu ajouter dans l'article « Série de Dirichlet »), il est vrai pour une série de Dirichlet classique (i.e. pour λ_n = ln(n)), mais je n'arrive pas à trouver une preuve juste pour une série de Dirichlet générale. J'ai juste trouvé que la version correcte a été prouvée par (en) T. Kojima, « On the convergence-abscissa of general Dirichlet's series », TMJ, vol. 6,‎ 1914, p. 134-139. Voir aussi Maurice Blambert, « Sur l'abscisse de convergence simple des séries de Dirichlet générales », Ann. Inst. Fourier, vol. 14, n^o 2,‎ 1964, p. 509-518 (lire en ligne) Anne (d) 13 juillet 2012 à 21:56 (CEST)

Merci à Claudeh5 (d · c · b) pour l'abondante doc (envoyée par mail privé puisqu'il est actuellement bloqué), mais je n'y ai pas trouvé la réponse :

• Hardy et Riesz (The general theory of Dirichlet's series, p. 6-7) ne prouvent le théorème de Cahen que sous l'hypothèse supplémentaire que la série de Dirichlet diverge en 0, ou converge mais pas vers 0.
• Mandelbrojt (Séries de Dirichlet, Principes et méthodes, p. 12) et Valiron (Théorie générale des séries de Dirichlet, p. 7) ne le prouvent que sous l'hypothèse que la lim sup est > 0 (puisqu'ils montrent exactement, comme Petkov et Yger, l'énoncé qui est actuellement dans Série de Dirichlet#Abscisse de convergence simple)
• Widder, p. 29-31 aussi (il attribue l'énoncé à Cahen, 1894, mais le maquille pour le rendre correct)

Donc mon problème (possibilité que abscisse=0 et limsup < 0, contrairement à ce que prétend prouver Cahen) subsiste. Anne (d) 15 juillet 2012 à 10:12 (CEST)

J'ai trouvé un exemple qui met en défaut ce théorème de Cahen : en prenant A(n)=e^–λ_n on a évidemment lim sup = – 1. Reste à choisir les λ_n (entiers de préférence) pour avoir aussi σ_s = 0. Il suffit pour cela que λ_n/λ_{n – 1} → ∞ (par exemple λ_n = n!) car on a alors ln|a_n| ∼ –λ_{n – 1}, donc le rayon de convergence de la série lacunaire ∑a_nz^λ_n est 1, donc σ_s = –ln(1) = 0. Anne (d) 17 juillet 2012 à 12:00 (CEST)

Question

Dans le paragraphe Histoire de la fonction zêta de Riemann#Résultats actuels sur les conjectures de Mertens, il est écrit :

« Cependant, la formule sommatoire d'Abel appliquée à $1/\zeta (s)$ montre que l'on a, si l'hypothèse de Riemann est vraie, $M(u)={\mathcal {O}}(u^{1/2+\epsilon }).$ Ce dernier résultat est presque le meilleur qu'on puisse actuellement espérer. »

Dans le paragraphe Histoire de la fonction zêta de Riemann#La fonction sommatoire de Möbius, on lit :

« S'il existe un zéro de la fonction de Riemann en $s=\beta +i\gamma$, on montre que $M(x)={\mathcal {O}}(x^{\beta +\epsilon })$ pour tout $\epsilon >0$. »

Il me semble que cette deuxième affirmation est exacte grâce à l'hypothèse de Riemann, mais elle est peu claire pour moi sans l'hypothèse de Riemann ; il doit y avoir une erreur dans la formulation. Avez-vous une référence ?--Cbigorgne (d) 17 juillet 2012 à 14:32 (CEST)

La signification de cette affirmation est la suivante: S'il existe dans la bande critique un zéro en dehors de l'axe 1/2 (les zéros vont par quatre, en comptant les conjugués et les symétriques par rapport à 1/2 dus à la relation fonctionnelle) alors soit $s=\beta +i\gamma$ le(un s'il y en a plusieurs) zéro de plus grande partie réelle. On a $M(x)={\mathcal {O}}(x^{\beta +\epsilon })$ pour tout $\epsilon >0$.. Comme l'on sait que $\beta$ est supérieur ou égal à 1/2 (théorème de Hardy), on ne peut avoir moins que l'estimation donnée par l'hypothèse de Riemann pour M(x). Mais on n'a pas réussi à montrer que $\beta <1$, ce qui laisse ouverte la possibilité qu'il existe une suite infinie de zéros (même très rares) dont la partie réelle tendrait vers 1. Claudeh5 (d) 18 juillet 2012 à 22:09 (CEST)

Fonctions presque périodiques

Ce paragraphe a été rédigé bien avant le développement considérable de l'article Fonction presque périodique. Via le lien vers cet article, il pourrait être à présent largement allégé. Anne (d) 13 juillet 2013 à 14:14 (CEST)

oui, oui ! (pour être franc c'est d'ailleurs la première ébauche de l'article fonction presque périodique...Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 14 juillet 2013 à 12:09 (CEST)

Dans le § sur Euler

Il manque une transition entre ces 2 phrases :

« […] définit la fonction zêta, notée ζ, sur les réels positifs supérieurs à 1 par

$\zeta (k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}.$

Il réussit à calculer la valeur de ζ(k) pour les entiers k négatifs et trouve ainsi une forme particulière de ce qui sera la relation fonctionnelle de la fonction zêta. »

Anne 15/7/13

un simple exemple. Tu connais le triangle de Pascal (affirmation). Mais on peut le généraliser.

n=0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^0 =1

n=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^1 =2

n=2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^2 =4

...

Mais on peut prolonger la règle du côté des n négatifs

n=-2 1 -2 3 -4 5 -6 7 ... somme 2^-2=1/4

n=-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ... somme 2^-1=1/2

n=0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^0 =1

n=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^1 =2

n=2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .... somme 2^2 =4

...

alors qu'aucune des séries (pour n<0) ne converge puisque le terme général ne tend pas vers 0 ! C'est ce que fait Euler et c'est assez classique jusqu'à Lacroix.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 1 novembre 2014 à 04:55 (CET)

Je n'en doutais pas ; je faisais juste remarquer que la phrase était bancale, et ça a été arrangé aussitôt. Anne 1/11/14

Legendre: symbole $\approx$

Le symbole $\approx$ me gêne beaucoup. D'une part il n'a pas de définition rigoureuse en mathématiques modernes. D'autre part Legendre ne l'a à ma connaissance jamais utilisé; en tout cas il ne l'a pas utilisé dans ses conjectures concernant la fonction de compte des nombres premiers: il utilisait tout simplement des égalités! Ce qui peut sembler aussi un abus de notation (mais qu'on doit je pense lire comme des égalités "à l'infini", dans le sens où Euler utilisait aussi parfois $=$) . Quoiqu'il en soit, je n'ai pas voulu remplacer $\approx$ par $=$. Donc j'ai supprimé $\approx$ de la section sur Legendre, soit en faisant des périphrases, soit en le remplaçant par $\sim$. Sapphorain (discuter) 11 juillet 2014 à 18:52 (CEST)

bof ... Cela dit, Legendre n'a pas plus utilisé le $\sim$.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 1 novembre 2014 à 05:01 (CET)

Oui, bien sûr. Mais encore une fois, $\approx$ n'a pas de définition rigoureuse en mathématiques modernes, alors que $\sim$ si. De plus, ce dernier symbole est parfaitement adapté pour exprimer rigoureusement la conjecture de Legendre. Evidemment, on pourrait reproduire la formule qu'a donné Legendre (utilisant le signe $=$), avec un commentaire. Si vous pensez que c'est important pour respecter la précision historique, faisons-le. Mais je pense que de toute façon, dans la présentation qui suit, on se doit d'utiliser des notations précises et modernes. (Imaginez par exemple la complication que ça représenterait, lorsqu'on présente un résultat d'Euler, de n'utiliser que ses propres notations!). Cordialement. Sapphorain (discuter) 1 novembre 2014 à 10:02 (CET)

Une manière de l'écrire serait d'écrire $A=(1+o(1))B$ au lieu de $A\approx B$ ou $A\sim B$. Mais c'est peut-être du pinaillage...Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 1 novembre 2014 à 13:41 (CET)

Ce que j'entendais par précision historique, c'était l'idée de d'abord reproduire exactement la formulation de Legendre $A=B$, avec ensuite un commentaire sur son utilisation particulière du symbole $=$. Mais si on ne le fait pas, autant alors il me semble utiliser directement la notation $A\sim B$, qui par définition signifie $A=(1+o(1))B$ (ou $A=B+o(B)$) et qui est plus économique. Sapphorain (discuter) 1 novembre 2014 à 19:14 (CET)

La différence est que c'est, je pense, plus facile à comprendre sous la forme $A=(1+o(1))B$ que $A\sim B$ pour un non spécialiste.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 5 novembre 2014 à 22:57 (CET)

Zêta non nulle sur Re(s)=1 et équivalence TNP

Dans la section "le théorème des nombres premiers" on attribue à Hadamard la preuve en 1892 de la non annulation de zêta sur Re(s)=1, et à Landau en 1903 l'équivalence de cette propriété avec le TNP. Ici des références primaires sont nécessaires: les articles dans lesquels ces preuves sont données. Des références secondaires ne sont pas suffisantes, dans la mesure où diverses informations contradictoires ont été publiées. Par exemple la première preuve est parfois attribuée à La Vallée Poussin, parfois à von Mangoldt. D'autre part Landau ne mentionne pas la deuxième preuve dans le Handbuch, ce qui permet de douter qu'il l'ait effectivement donnée en 1903. Sapphorain (discuter) 13 juillet 2014 à 14:50 (CEST)

Ce sont donc les Wikipédiens, plus doués que les différents auteurs s'étant exprimés sur le sujet, qui vont trancher à l'analyse des sources primaires ? Si les sources secondaires ne sont pas d'accord, ce n'est pas un raison pour ne pas les utiliser. Les différentes opinions contradictoires doivent être reportées, en proportion de la notoriété et la représentativité de ces sources. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 13 juillet 2014 à 16:39 (CEST)

Il ne s'agit pas d'être "doué", mais simplement précis. Le problème pour le moment, c'est qu'aucune source n'est donnée, ni primaire ni secondaire. Et dans le cas présent, pour une source secondaire, il ne s'agit pas de soupeser son "opinion", sa "notoriété", ou sa "représentativité", mais simplement de s'assurer qu'elle fournit une information vérifiable: soit Landau a démontré le résultat affirmé en 1903, soit il l'a fait à une autre date, soit il ne l'a pas fait. Une source secondaire sérieuse doit donner elle-même une référence à une source primaire (c'est-à-dire à l'article de 1903 dans lequel Landau a démontré le résultat en question), de sorte qu'on puisse vérifier l'affirmation faite. Si elle ne le fait pas, ça n'est pas une source fiable. Je peux facilement accéder aux résumés de tous les articles publiés par Landau en 1903 (par le Jahrbuch): il y en a 8, dont 3 en rapport avec le TNP, dont 0 mentionne cette équivalence. Et, encore une fois, Landau lui-même ne mentionne pas ce résultat dans son Handbuch, alors qu'il mentionne tous les autres résultats qu'il a obtenus concernant le TNP, jusqu'en 1908. Sapphorain (discuter) 13 juillet 2014 à 18:02 (CEST)

Landau 1903: Mac tutor. D'autre part, voir, page 258 du Handbuch le paragraphe "beweis des primzahlsatzes ohne überschreitung der geraden σ=1" Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 26 novembre 2014 à 12:06 (CET)

Je pense qu'il s'agit de "Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes.", Mathematische annalen T56, 1903,p645-670.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 26 novembre 2014 à 12:57 (CET)

Merci pour les références! Concernant la première: la biographie de mactutor ne contient qu'une information relative à l'année 1903, qui ne mentionne pas l'équivalence TNP - non annulation de zeta sur sigma=1, mais une preuve plus simple du TNP: il s'agit effectivement de cet article [4]. Landau y obtient une version du TNP avec un bon reste. Or c'est la version la plus grossière du TNP (sans reste) qui est équivalente à non annulation de zeta sur sigma=1: Landau ne mentionne rien à ce sujet dans l'article, ni d'ailleurs dans le compte-rendu de l'article qu'il a fait ("Autoreferat") dans le Jahrbuch de 1903. Concernant la deuxième: le paragraphe 66 du Handbuch (p. 258) contient bien la preuve voulue (en fait, un résultat plus général), publiée d'abord dans deux articles en 1908 (je vais vérifier). Il me semble qu'il faut donc remplacer 1903 par 1908. Sapphorain (discuter) 26 novembre 2014 à 13:51 (CET)

... Voilà, c'est vérifié. J'ai modifié la date (1908) et donné les références exactes. Par contre je ne trouve toujours pas la preuve que c'est bien Hadamard qui a démontré la non annulation de zêta sur sigma=1. S'il l'a fait en 1892, comme affirmé, c'est dans sa thèse (que je n'ai pas sous la main). Sapphorain (discuter) 26 novembre 2014 à 16:43 (CET)

Sa thèse est là :

J. Hadamard, « Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor », J. Math. Pures Appl.,‎ 1892, p. 101-186 (lire en ligne).

C'est peut-être plutôt là-dedans mais je n'ai pas regardé :

J. Hadamard, « Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann », J. Math. Pures Appl.,‎ 1893, p. 171-216 (lire en ligne).

Anne 26/11/14

Merci Anne! Mais ça n'est pas dedans (en fait je l'ai trouvée et parcourue). Par contre j'ai aussi parcouru les mémoires de Hadamard et La Vallée Poussin de 1896 (dans lesquels ils démontrent le TNP), et il me semble que le paragraphe sur le théorème des nombres premiers contient de nombreuses erreurs et imprécisions et nécessite des corrections.

(1) Le fait que la fonction zeta ne s'annule pas sur sigma=1 n'a pas été démontré en premier par Hadamard tout seul en 1892, mais bien en 1896, par Hadamard (tout au début) ET par La Vallée Poussin (Chapitre III), indépendamment dans leurs mémoires de 1896.

(2) Le théorème n'est pas démontré sous la forme indiquée, mais (par chacun des deux), sous la forme lim(theta(x)/x)=1.

(3) Le domaine D indiqué n'est démontré dans aucun des deux mémoires (de 1896), et le TNP est obtenu, sans terme de reste, en utilisant uniquement le fait que zeta ne s'annule pas sur sigma=1.

le domaine se trouve dans le mémoire de la vallée poussin de 1898, "sur la fonction zeta de riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée".Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 2 décembre 2014 à 15:51 (CET)

(1899 plutôt). Oui bien sûr. Mais pas dans celui de 1896. Sapphorain (discuter) 2 décembre 2014 à 16:09 (CET)

(4) Autrement dit, il semble bien que l'équivalence entre le TNP et la non annulation de zeta sur sigma=1 n'est pas due à Landau, mais tout simplement à H et LVP en 1896. (Landau en a donné une preuve beaucoup plus simple en 1908, mais ça n'était pas la première).

(5) D'autre part: l'inégalité indiquée ne se trouve pas dans le mémoire de La Vallee Poussin, et ne lui est pas due, mais est due à Mertens (1898).Sapphorain (discuter) 26 novembre 2014 à 20:16 (CET)

Finalement la démonstration de cette équivalence est beaucoup plus tardive:

C'est Norbert Wiener qui en 1928 (J. Math. Phys. MIT 7, (1927-8), 161-184) a donné la première preuve de l'implication $\Leftarrow$ de l'équivalence TNP $\Leftrightarrow \zeta (1+it)\not =0$, c'est-à-dire la première preuve n'utilisant aucune autre propriété de zeta sur sigma=1 (les preuves antérieures utilisaient également une estimation sur la croissance en t de $(\zeta '/\zeta )(1+it)$). L'implication $\Rightarrow$ est (relativement) plus facile, mais comme le note en: Albert Ingham en 1932 (The distribution of primes, p.38-39), l'état de la théorie avant le théorème de Wiener ne permettait "d'en inférer d'aucune manière l'équivalence de ces deux propositions". Ingham donne la preuve (de cette dernière implication) dans son livre (p. 37), et son commentaire ci-dessus laisse supposer qu'elle était déjà connue avant. Mais je ne sais pas si elle a été publiée avant; en tout cas je n'ai rien trouvé d'antérieur.Sapphorain (discuter) 8 décembre 2014 à 22:36 (CET)

zeta

Bonjour. Il y a des incohérences dans ce texte:

• En 1896 Jacques Hadamard< et Charles-Jean de La Vallée Poussin démontrent indépendamment la conjecture de Legendre sous la forme suivante :$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\theta (x)}{x}}=1.$Les preuves sont assez différentes, mais une étape intermédiaire cruciale dans chacune consiste à montrer que la fonction ζ(s) ne s'annule pas sur la droite d'abscisse σ = 1.

(1) en fait qu'il existe un sigma=sigma(t) <1 tel que si Re(s)>sigma(t) alors zeta(s) est non nulle. Voir ici par exemple la première preuve du TNP dans les nombres premiers de Ellison & Mendès-France.

• Franz Mertens démontre en 1898 l'inégalité suivante pour σ > 1$\zeta ^{3}(\sigma )|\zeta (\sigma +{\rm {i}}t)|^{4}|\zeta (\sigma +2{\rm {i}}t)|\geq 1,$qui livre une preuve plus simple de cette étape cruciale.

(2) laquelle ?

• Jusqu'à présent, personne n'a réussi à faire beaucoup mieux, c'est-à-dire démontrer que ζ(s) est non nulle sur une bande [1 – δ, 1], quel que soit δ > 0, alors qu'une majeure partie de la communauté mathématique croit que ζ(s) ne s'annule pas sur la bande ]1/2, 1], conformément à l'hypothèse de Riemann.
• Edmund Landau simplifie en 1903 la preuve de La Vallée Poussin de 1899, au prix d'une estimation légèrement moins bonne du reste (voir la section suivante). En 1908 il propose d'autres preuves plus simples du théorème des nombres premiers "sec" (sans évaluation du reste) et ne faisant usage du comportement de la fonction zêta que sur la droite d'abscisse σ = 1.
• En 1928 Norbert Wiener donne la première preuve du théorème des nombres premiers à partir de l'hypothèse minimale « La fonction ζ(s) ne s'annule pas sur la droite d'abscisse σ = 1 »

(3) contradiction avec le point juste au-dessus. C'est Landau ou bien (ou exclusif) Wiener mais ce ne peut être les deux à la fois..Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 9 décembre 2014 à 14:11 (CET)

Je ne vois aucune incohérence.

(1) Comme remarqué par Landau (et par d'autres), une étape cruciale des preuves de Hadamard et LVP consiste à montrer que zeta ne s'annule pas sur sigma=1. Ça ne veut évidemment pas dire qu'ils n'utilisent pas d'autres propriétés de zeta.

(2) Preuve classique qu'on trouve un peu partout. Voir par exemple le Tenenbaum, Théorème II.3.9.

(3) Pas du tout. Landau donne plusieurs preuve utilisant entre autres (mais pas seulement) la non annulation sur sigma=1. (Il utilise aussi une estimation de (zeta'/zeta)(1+it)). Le premier à n'utiliser que ça est Wiener. Sapphorain (discuter) 9 décembre 2014 à 17:19 (CET)

arXiv n'est pas une publication fiable

Son principal défaut est de n'avoir aucun comité de lecture. Alors s'il est vrai que certains très bons articles sont d'abord publiés sur arXiv comme prépublications avant de paraître ailleurs, dans une bonne revue, il y a aussi des auteurs dont les oeuvres complètes se trouvent sur arXiv (et nulle part ailleurs). Comme un certain NA Carella qui y a publié la preuve de toutes les grandes conjectures (Riemann, Goldbach, premiers jumeaux, etc), et qui a pollué pendant des années Wikipedia:en pour y faire figurer ses articles. M. Aslam Chaudry semble malheureusement être dans ce cas, puisqu'il a une copieuse liste de publication sur arXiv, et zéro publication répertoriée sur MathSciNet. La référence à Masumi Nakajima semble plus sérieuse (il publie ailleurs). Mais d'une part il ne prétend pas démontrer l'hypothèse de Lindelöf. D'autre part, attendons qu'il ait publié son papier ailleurs: si son résultat est correct il paraîtra forcément dans un journal décent. Sapphorain (discuter) 11 décembre 2014 à 16:33 (CET)

Ah la fiabilité ... Puis-je rappeler que Poincaré a obtenu le prix du roi de Suède pour son mémoire de stockholm, qui avait été lu par un comité de lecture et que, Mittag-Leffler ayant procédé au tirage du mémoire dans les acta mathematica, Poincaré fit reprendre l'ensemble des copies du mémoire, y compris aux membres du comité de lecture, détruire le tirage des acta et dû payer avec son prix l'ensemble du retirage des acta mathematica parce qu'il avait découvert une erreur dans son mémoire, erreur que n'avait pas vu le comité de lecture. Et combien d'autres comme cela.Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 12 décembre 2014 à 15:09 (CET)

Intéressant… Mais ça ne rend pas arXiv plus recommandable. Sapphorain (discuter) 12 décembre 2014 à 16:26 (CET)

wiener

Le problème avec le mémoire de Wiener est

• il n'est pas indiqué du tout (ni Wiener d'ailleurs) dans le traité de Titschmarsh de 1951 ni dans l'édition postérieure de 1986
• il n'est pas indiqué dans le traité de Ivic non plus (pas de wiener)
• je n'arrive pas à l'avoir ! (à votre bon coeur)

Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 1 janvier 2015 à 19:25 (CET)

mémoire de Wiener

1/Le mémoire de Wiener indiqué plus haut (Journal of mathematical physics, 1928, p161-184 a pour titre "A new method in Tauberian theorems" et il n'y a pas un seul mot sur la fonction zeta de Riemann. 2/le livre "selected papers of Norbert Wiener" ne comporte aucun articles sur la fonction zêta de Riemann. 3/ SI c'est de N. Wiener, alors il peut s'agir de "On the Elementary Nature of the Prime Number Theorem", non daté ou bien de Wiener, Norbert and Gellert, Leonard, "Some prime-number consequences of the Ikehara theorem",Acta scientiarum mathematicarum, (12) B. pp. 25-28. (1950)

Cauchy et les séries de fonctions continues

Dans la partie Le mémoire de Riemann il faut revoir la passage sur Cauchy ! Il me semble que c'est lui qui c'était avancé trop vite (1821) en énonçant (et prouvant) qu'une série de fonctions continues et continue. Et ensuite (contre-exemple par Abel, je ne sais pas si Cauchy l'a vu) en 1853 il dit qu'il s'est trompé et donne la bonne notion de convergence.

J'ai trouvé les dates ici http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AVM13004.htm